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"C'era una volta un paradosso" - P. Odifreddi

a cura di Fulvio Lanna

Contenuti

C'era una volta un paradosso - copertina

"Questo libro contiene almeno un errore . Ci si potrebbe aspettare che per verificare la cosa sia necessario leggere l'intero volume. E invece lo sappiamo già fin d'ora. Infatti se ci sono errori, ci sono. E se non ce ne sono, c'e' quello che dice Questo libro contiene almeno un errore. Dunque sappiamo che in questo libro un errore c'e', anche se non sappiamo ancora qual'e'. A scanso di equivoci, l'errore non sta nel leggerlo."

Il termine paradosso deriva dal greco ed e' composto da para (contro) e doxa (opinione).

Indica una proposizione formulata in evidente contraddizione con l'esperienza comune o con i propri principi elementari della logica ma che sottoposta a rigorosa critica si dimostra valida.

I paradossi sono smagliature di assurdita' nel tessuto della conoscenza: dapprima ci fanno dubitare delle nostre credenze e poi ci spingono a ridefinire i nostri concetti.

Studiarli e confrontarcisi e' un occasione non solo per rimettere in discussione i pregiudizi piu' radicati, ma anche per scoprire il ruolo che idee semplici e divertenti hanno avuto nello sviluppo delle scienze piu' disparate, dalla matematica all'economia. (Odifreddi)

In questo libro ci accorgiamo che i paradossi non sono un puro esercizio logico-linguistico o matematico-filosofico, ma occupano aspetti importanti della nostra vita, evidenziano la fallibilità della nostra percezione, anzi, della percezione del nostro buon senso comune .

Si tratta di un viaggio attraverso il paradosso che tocca mondi insospettabili.

Alcuni stralci tratti dal libro "C'era una volta un paradosso" di P. Odifreddi:

 

ZENONE

Zenone di Elea (V sec. AC) è passato alla storia per decine di paradossi. Il più famoso riguarda la gara di corsa di Achille e della tartaruga. Se Achille concede alla tartaruga un benchè minimo vantaggio, non la potrà più raggiungere.

Infatti mentre Achille cerca di raggiungere la tartaruga, essa, nel frattempo, avrà percorso un ulteriore spazio. che Achille dovrà colmare e così via.

L'essenza di questo paradosso si tratuce con un paradosso simmetrico: "E' impossibile sia partire che arrivare".

Infatti per arrivare in un posto qualsiasi, e' necessario prima arrivare alla metà della distanza e per quanto si proceda in quella direzione, mancherà sempre un ulteriore metà per arrivare alla meta.

E per partire, è necessario percorrere una qualsiasi distanza, ma prima bisognerà raggiungere la metà di questo spazio, e prima un'ulteriore metà, e così via.

Una variante orientale (Hui Shi - IV sec AC) si può trovare nel quesito: Qual'è la cosa più veloce da individuare?

Sicuramente l'ombra di un corpo. Infatti l'oggetto più veloce al mondo non potrà essere più veloce della sua ombra.

 

I PARADOSSI DELLA DEMOCRAZIA

Citazioni

  • La democrazia è la peggior forma di governo, a parte tutte le altre che sono state provate (W-. Churchill)

  • La democrazia è l'assicurazione di non essere governati meglio di come ci meritiamo (G.B.Shaw)

  • La democrazia ha sostituito la nomina di pochi corrotti con l' elezione di molti incompetenti (G.B.Shaw)

  • Il sogno della democrazia è l'elevazione del proletariato al livello di stupidità della borghesia (G. Flaubert)

  • Gli eletti non possono mai essere più stupidi degli elettori (B. Russell)

Questi sono solo i più innocenti paradossi relativi alla democrazia. Esiste qualcosa di più profondo ed inquietante.

I teoremi di un giovane economista, Kenneth Arrow e di M. Balinsky e P. Young hanno inferto colpi mortali al principio di proporzionalità. Molte democrazie l'hanno quindi abbandonato, piú o meno spudoratamente.

Anche la nostra, a colpi di referendum e mattarellum, per qualche anno ha pensato che la soluzione dei guai della democrazia stesse nell'adozione di una qualche forma di sistema maggioritario.

Purtroppo per loro, i sistemi maggioritari non stanno meglio di quelli proporzionali. Ad esempio, nel maggioritarlo secco è possibile che un partito con quasi il 50 per cento dei voti nazionali non prenda neppure un seggio, e che ogni seggio vada invece a partiti locali con una minima rappresentanza. Basta infatti che in ciascun collegio uno stesso partito nazionale ottenga il 50 per cento dei voti meno uno, e che un partito locale ottenga il 50 per cento dei voti piú uno, affinché il seggio vada al secondo.

Un altro paradosso dei sistemi che, come il maggioritario, presentano la scelta fra due soli candidati o poli, può essere efficacemente illustrato in termini di gelatai (senza intenti denigratori nei confronti di nessuno). Supponiamo dunque di trovarci su una spiaggia assolata lunga un chilometro, stracolma di bagnanti accaldati, e che arrivino due gelatai a vendere i loro prodotti.

Per i bagnanti, la loro collocazione piú sensata sarebbe che entrambi si ponessero a duecentocinquanta metri dagli estremi della spiaggia, cioè a un quarto e tre quarti. In tal modo, infatti, nessun bagnante dovrebbe fare piú di duecentocinquanta metri per raggiungere il piú vicino dei gelatai.

Ma i gelatai ragionano diversamente: a loro conviene porsi il piú possibile vicini fra loro per contendersi i bagnanti della zona intermedia, visto che quelli agli estremi andranno in ogni caso a comprare il gelato dal piú vicino. Dal punto di vista dei gelatai, la sistemazione piú razionale è dunque che entrambi si situino al centro della spiaggia. Il che è ciò che spesso accade per i candidati o i poli dei sistemi maggioritari consolidati, che finiscono per risultare indistinguibili nei loro programmi politici. Il paradosso sta, ovviamente, nel fatto che allora non ha senso scomodarsi a scegliere fra due candidati che propongono lo stesso programma.

Siamo cosí ritornati al punto di partenza: che le persone razionali non avrebbero motivi per andare a votare. Ma se solo gli irrazionali votano, non possiamo poi stupirci né dei risultati delle votazioni, né della conseguente serie di apprezzamenti sulla democrazia con la quale abbiamo iniziato il discorso. Per finirlo con una parola buona dobbiamo ammettere che almeno un vantaggio la democrazia ce l'ha: ora si contano tutti i voti,

mentre una volta solo i Conti votavano.

 

SCELTE DETERMINATE

Nel 1969 il filosofo Robert Nozick ha divulgato il cosiddetto paradosso di Newcomb, che prende il nome dal fisico che l'ha scoperto'.

Supponiamo di partecipare ad un gioco in cui ci sono due buste chiuse: nella prima c'è un milione, e nella seconda o non c'è niente o c'è un miliardo. Il gioco consiste nello scegliere o entrambe le buste, o solo la seconda. La decisione su che cosa ci debba essere nella seconda busta viene presa da un veggente, che ci mette il miliardo se e solo se prevede che noi prenderemo soltanto quella.

Che cosa conviene fare razionalmente? La risposta dipende dal tipo di strategia che si decide di seguire. Il paradosso nasce dal fatto che ci sono due strategie, entrambe perfettamente razionali all'apparenza, che suggeriscono di tenere comportamenti opposti.

Nel primo caso si può seguire il principio di utilità, che suggerisce il comportamento che produce il maggior utile. Questo è appunto il caso della scelta della sola seconda busta. Poiché infatti il veggente prevede esattamente il comportamento, se si prendono entrambe le buste si guadagnerà un milione, mentre se si prende solo la seconda si guadagna un miliardo.

Nel secondo caso si può invece seguire il principio di dominanza, che suggerisce il comportamento consistentemente migliore. E il caso della scelta di entrambe le buste: se infatti il veggente non ha messo niente nella seconda busta, prendendo solo quella non si ottiene niente, mentre prendendole entrambe si ottiene un milione; se invece il veggente ha messo il miliardo nella seconda busta, prendendo solo quella si ottiene un miliardo, mentre prendendole entrambe si ottiene un milione in piú.

I due ragionamenti si basano su assunzíoni diverse. Il primo accetta l'ipotesi che il veggente preveda il futuro, e dunque che la nostra decisione di prendere o no entrambe le buste determini retroattivamente la sua scelta di mettere o no il miliardo. Il secondo ragionamento si basa invece sul fatto che il contenuto delle buste è ormai stato fissato sulla base delle previsioni del veggente, e quindi non può essere influenzato dalla nostra decisione di prendere o no entrambe le buste.

Poiché la contraddizione rimane comunque, per risolverla sembrano possibili tre sole strade: o uno dei due principi non è razionale, o il gioco stesso è impossibile. E si possono effettivamente trovare argomenti a favore di ciascuna delle tre possibilità:

  • Il principio di utilità riduce l'Homo sapiens all'Homo economicus, e sembra quindi piú animalesco che razionale. Il mercato è, infatti, la continuazione della lotta per la sopravvivenza con altri mezzi. E con gli stessi fini.

  • Il principio di dominanza, benché sia uno degli assunti fondamentali della teoria dei giochi, porta a conclusioni analogamente paradossali anche nel dilemma del prigioniero, dalla cui analisi Newcomb ha, fra l'altro ricavato il suo paradosso.

  • Anch'esso può quindi essere guardato con sospetto.

  • Dire infine che il gioco è impossibile, significa semplicemente negare la preveggenza. Il che è in accordo con una visione non deterministica (o almeno non calcolabile) del mondo, che lasci spazio al libero arbitrio.

A scanso di equivoci, è comunque bene notare che non è necessaria un'assunzione di preveggenza totale. Basta che il veggente sappia prevedere il futuro con probabilitá di poco superiore al 50 per cento, perché il paradosso continui a valere'. Pensare che la soluzione del paradosso stia nel fatto che il gioco è impossibile, significa allora sostenere che è impossibile prevedere ilfuturo non solo con certezza, ma anche con una probabilità di poco superiore al 50 per cento.

Per smorzare gli entusiasmi, possiamo però anche dire che, supponendo che il veggente possa sbagliare previsione, nessun comportamento è dominante (benché si possa anche dire il contrario, in base al ragionamento precedente). Se infatti la previsione è stata corretta, prendendo solo la seconda busta si ottiene un miliardo e prendendole entrambe si ottiene un milione. Se invece la previsione è stata sbagliata, prendendo solo la seconda busta non si ottiene niente e prendendole entrambe si ottiene un milione. Nel primo caso è dunque meglio prendere solo la seconda busta ' mentre nel secondo caso conviene prenderle entrambe.

Non pensare troppo per la tua intelligenza .

..Le speranze che la logica possa essere di aiuto nel prevedere il futuro sono dunque svanite. Anzitutto, le sue risposte sono condannate ad avere una affidabilità poco piú che casuale. Inoltre, le risposte corrette non si possono in generale riconoscere come tali. Infine, le risposte che sono dimostrabilmente corrette, potrebbero esserlo in maniera inaspettata.

Come se non bastasse, abbiamo poi scoperto che la logica, oltre a non essere utile, può addirittura risultare dannosa. Sapere troppo, o voler essere troppo furbi, può infatti risultare svantaggioso e paralizzare l'azione.

Ovviamente, queste conclusioni sono state anticipate da fior di pensatori:.

  • Aristotele afferma, nella Metafisica (iv, ioo6a), che è segno di ignoranza non sapere quando si deve smettere di ragionare.

  • La parabola dell'asino di Buridano, già citata da Dante nel Paradiso (IV, 1-3), mostra come la ragione possa creare dei nodi gordiani che si possono tagliare soltanto in modo arbitrario. Shakespeare critica, nell'Amieto (IV, 4), l'agire troppo meditato, perché nel pensiero ci sono tre parti di follia e una sola di saggezza.

  • Voltaire conclude il Candide con un: «Lavorare senza ragionare è il solo modo di rendere la vita sopportabile».

  • Dostoevskij inizia le Memorie dal sottosuolo sostenendo che l'intelligenza è una vera e propria malattia, e che si può essere uomini di azione soltanto se si è imbecilli.

  • Wittgenstein ribadisce, nelle Osservazioni sopra i fondamenti della matematica (111, 56), che attraverso i paradossi gli dèi ci hanno ammonito che bisogna agire senza riflettere.

  • Carlo Emilio Gadda osserva, in Perfavore, mi lasci nell'ombra, che «non tutti sono condannati ad essere intelligenti» ...

Mentre, però, filosofia e letteratura possono mostrare le limitazioni della logica soltanto metaforicamente, quest'ultima è riuscita a far meglio e a dimostrarle tecnicamente, tramutando cosi in punti di forza proprio quei paradossi e teoremi che mostrano le sue debolezze.

 

L'induzione matematica

Il primo paradosso dell'induzione matematica risale al v secolo a.C. ed è dovuto a Zenone di Elea, nella forma del sorite se un granello di miglio non fa rumore cadendo, allora non può nemmeno far rumore un mucchio. Equivalentemente: poiché un mucchio fa rumore cadendo, allora dovrebbe far rumore anche un granello.

In realtà, l'ipotesi esplicita (che il rumore di un granello di miglio non si percepisca) è vera, ma quella implicita (che se non si percepisce il rumore di n granelli, allora non si percepisce neppure quello di n + 1) è falsa. Esiste infatti un livello di soglia sotto il quale non percepiamo rumore e sopra il quale si.

La cosa è ancora piú evidente in altri casi. Ad esempio, come il detto popolare insegna, esiste una «goccia che fa traboccare il vaso»: essa impedisce di dedurre, dal fatto che una goccia sola non lo fa traboccare, che il vaso non traboccherà mai. O, come insegna invece una pagina nera della storia scientifica, esiste una « massa critica»: essa impedisce di dedurre, dal fatto che un atomo di uranio o plutonio non esplode, che nessuna concentrazione di atomi esploderà.

Nel iv secolo a.C. Eubulide di Mileto mostrò che il ragionamento di Zenone si può applicare anche in altre situazioni, in cui non sembra esserci una via d'uscita così agevole. Basta, ad esempio, sfrondare la versione del mucchio dalla distrazione del rumore e chiedersi quand'è che i granelli diventano un mucchio. Un solo granello non è un mucchio. E se non sono un mucchio, allora neppure n + 1 dovrebbero esserlo.

In greco soros significa «mucchio». «Sorite» è un mucchio di sillogismi,' cui la conclusione di ciascuno è la premessa del successivo.